快速重點整理：現值、終值、年金是什麼？
- 現值是未來的所有現金流，價值等於今天多少錢？
- 今天的100元會比未來的100元更值錢，這差異來自於利率與時間，利率在計算時也稱為折現率。
- 終值是過去的所有現金流，在未來某一期等於多少錢？
- 年金是每隔相同的時間，收到或付出一筆固定金額的錢。
- 年金計算有普通年金、期初年金的分別，若定期支出、收入發生於每期的期末，稱為普通年金；若定期支出、收入發生於期初，稱為期初年金。
一般除非有特別說明，否則均指普通年金。計算時要注意年金發生在哪一期。
現值、終值、年金，是進行貨幣時間價值時會使用到的名詞。
由於利率的影響，今天的100元和一年後的100元，兩者價值實際上並不相等，只有透過利率(折現率)將數字調整到同樣時間點之後，才能夠互相比較。
其中現值代表的是現在的價值，終值則是未來最後一期的價值，年金則是每隔相同的時間，收到或付出一筆固定金額的錢。
在金融投資裡面，只要涉及長時間的資產價值評估，例如你要評估一間企業的價值對它做估價，或者評估某項投資的回報好壞，都必須要考慮時間帶來的影響，
為什麼要算現值、終值？
首先要知道的是：為什麼我們要知道值、終值？
因為金錢的價值，只有在相同時間點才能互相做比較。
現值考慮到了投資可能獲得的任何利率，因此認為同樣金額的錢，
今天的100元會比未來的100元更值錢，因為投資人可以把今天的100元拿去投資，並預測在未來5年內獲得的報酬率，也就是說今天的100元，會比未來的100元更有價值。
了解到金錢在不同時間價值不同時，如果我們想要做比較，必須把時間點換到同一時間才能比較。
例如，今天的100元和10年後的140元，到底誰好誰壞？
例如，你立刻拿到1500元，跟未來3年陸續拿到450元，到哪個比較好？
你會發現，這些都不能直接比，至少你沒辦法一眼判斷出它的好壞。
但如果你可以把10年後的140元折現到今天算出現值PV，就能和今天的100元做比較。
同理，你也可以把今天的100元折線到未來10年後，算出10年後終值FV，就能和10年後的140元做比較。
這種將未來現金流轉換成現值，或者現金流轉換到未來的過程，就稱為折現(貼現)，
現值是什麼？
現值：未來的所有現金流，價值等於今天多少錢？
現值（英文：Present Value ，簡稱 PV） 是指未來的貨幣在今日的價值，也就是說未來一筆金額，
經過一段時間 折現(Discount)後，算出的現在貨幣價值，白話來說就是未來的1元等於今天多少錢。
其中，折現指的是考慮金錢的時間價值與機會成本，例如有個朋友跟你借100元，那麼他明天就還你100元，與10年後才還你100元，兩者雖然都是100元，但價值並不會相等，
因為如果你今天就立刻拿到100元，可以把它放銀行或投資，會得到利息或投資收益，最終10年後得到的價值會超過100元，
而考慮到時間帶來的差異，所用的調整利率，就稱為折現率。
現值計算公式？
現值PV = 終值(FV) ÷(1+利率%)^期數 = FV ÷ ( 1 + r )n
利率通常簡寫為 r 或 i ，期數通常用n期表示，
(在金融領域裡面1期通常是1年，如果不是1年通常會將利率調整為1年)
單筆現值指一筆存款的現在價值，計算方法是將一項投資預期的未來現金流複利折現到現在的價值，
投資人計算時需要知道3個項目：
- 每一期預期的現金流
- 支付現金流的年數(第幾期支付)
- 折現/貼現率(利率)
用來計算現值的利率被稱為折現/貼現率，這是影響現值的重要因素，
折現/貼現率越高、現值越低；折現/貼現率越低、現值越高。
單筆現金流，現值如何計算？
假設你今天以2%的年利率，在一個儲蓄帳戶中投資1,000元，
那麼在一年結束時，它將價值1,020元(1,000元 × 1.02)，包含1000元的本金與20元的利息。
我們可以說：未來一年後 1,020元 ，在2%折現率之下，它的現值是1,000元。
現值可以幫你計算，在每年固定報酬率(%)的計算下，你現在該投資多少錢，才能存到未來的目標金額。
舉例來說：
假設你今天以5%的年利率投資，想在1年後獲得1020元，現在該存多少錢？
計算結果：1,020 ÷(1+5%)^1 = 971.43元，
也就是說需要存971.43元，以5%的利率計算，1年後才能獲得1020元。
多筆現金流，現值如何計算？
上面這是比較簡單的例子，因為未來只有一年，意思是只有一筆現金流 (拿回1000元和利息20元)，因為只有一筆，也可以把它視為終值。
不過一般現值的運算，可能遇到的是未來有數年的現金流，例如說預計第一年收到500元、第二年收到800元、第三年收到1000元，
算法也很簡單，就是把未來每一期的現金流數字分別折現到現在算出現值，再做加總，算出來的就是這些現金流的現值。
現值PV = 各期現金流的現值 加總
各期現金流現值 = 各期現金流 ÷(1+利率%)^期數
終值是什麼？
終值(Future Value)：過去的所有現金流，在未來某一期價值多少錢
終值（英文：Future Value ,簡稱 FV）也就是未來價值，它決定了時間對金錢的影響。
簡單來說，終值就是指今天投資的一筆錢，隨著時間的流逝，在一定的利率複利計算下會變成多少錢。
終值的概念，比現值PV來的直覺很多，
例如我們常常談的投資複利，投資數年後最後能拿到的錢，指的就是終值FV。
終值計算公式？
終值(FV) = 現值(PV) ×(1+利率%)^期數 = PV × ( 1 + r )n
期數 = 經過n期到最後一期
利率通常簡寫為 r 或 i ，期數通常用n期表示。
在算終值時，我們比較不會稱呼利率為折現率，雖然都同樣是利率、意思一樣，
折現率一般只用在計算現值時，對利率的稱呼。
假設你存一筆1,000元在帳戶中，每年支付10%利息，你持有5年的話，未來價值(終值)計算方式為：1,000 ×(1+10%)^5 =1,610.51元
單筆終值計算範例
如果你今天在一個儲蓄帳戶中投資1,000元，年利率為2%，
那麼投資一年後，它的價值變成1,020元，也就是說終值(未來價值)是1,020元。
那麼如果投資2年會發生什麼事？1,000元會變成1044元，
第一年你賺了20元，但第二年卻賺了24元，這額外的4元是第一年年底賺取20元的2%報酬，
而這個賺取利息的過程被稱為複利，它對投資的未來價值有強大影響力。
多筆現金流 終值計算範例
舉例，有個投資最初投入500元、第一年投入400元、第二年投入300元，在利率2%的情況，最終一期第三年可以得到多少？
將各期現金流分別計算終值，最後加總，就可以得到合計的終值。
年金是什麼意思？
年金(Annuity)：每隔相同的時間，收到或付出一筆固定金額的錢。
年金（英文：Annuity）是指在一定時間內，定期支出、收入的固定現金流量（Payment, PMT），
白話來說是每隔相同的時間，收到或付出一筆固定金額的錢，像是零存整付、房屋貸款、年金給付…等。
一般人最常用到年金的計算，是計算房貸每期要還多少錢，如果每期金額一樣，這就是一種年金。
其次則是把債券、儲蓄險等年金或利息，換算回現值或終值。
年金的定義：
- 年金每期的收入或支付金額固定不變。
- 年金的計算期間內，每期現金流量必須持續不能中斷。
年金計算公式的限制很多，因為只要每一期的錢不一樣，年金公式就不能用了，
它只有在現金流一樣時才會用它做計算。
普通年金 vs 期初年金：從第0期開始，還是從第一期開始？
年金又有普通年金、期初年金的分別，
- 若定期支出、收入發生於每期的期末，稱為普通年金；
- 若定期支出、收入發生於期初(第0期)，稱為期初年金。
一般除非有特別說明，否則均指普通年金，
由於這會影響到計算結果，因此計算之前要清楚是哪一種。
- 普通年金(年末)：年金支出或收入的時間在期末，例如：每月償還的房屋貸款。
- 期初年金(年初)：年金發生的時間在期初，也稱為即期年金、到期年金，例如：繳交壽險保險費。
期初年金的現金流會比普通年金早一期，
普通年金、期初年金的說明如下圖，普通年金代表支付(收取)的期間在期末；期初年期代表支付(收取)的期間在期初。
「年金現值」與「年金終值」計算
通常我們會在已知年金的情況下，來計算現值、終值：例如已知定期定額的投資(年金)，來計算最後可以得到多少(終值)？
或者在已知現值、終值的情況下，來計算年金：例如借一筆房貸(現值)，計算每期要還多少錢(年金)？
年金現值的意思，是已經知道固定收款金額的未來本利(終值)、利率、計息期數時，
考慮貨幣的時間價值後，計算出這些收付款現在的金額。
年金現值、終值如何計算？
普通年金現值 = PMT × (PVIFA ,r,n)
期初年金現值 = 普通年金現值 × (1 + r)普通年金終值 = PMT × (FVIFA r,n)
期初年金終值 = 普通年金終值 × (1 + r)
- (PVIFA ,r,n) 年金現值因子= （1 – [1÷(1+r)^n] ）÷ r
- (FVIFA r,n)年金終值因子 = （ [(1+r)^n] -1 ）÷ r
- PMT = 固定現金流 (每一期多少錢)
- r = 利率
- n =期數
要注意，普通年金現值和普通年金終值，都是假定年金發生在每一期的期末，
如果年金是期初(第0期)開始算，就要多乘一期 (1+r)。
其中 PVIFA 、FVIFA稱為年金現值因子、年金終值因子，只要知道利率和期數，就會是一個固定的數字，會寫成例如像是 (PVIFA 5%,6) ，
年金計算公式如下圖：
FV其實就是把PV值在乘上 (1+r)n。
年金現值計算例子：
假設從年初開始，持續投入1,500元年，利率為5%，總共投入6年，該如何計算最初年初的現值？
先計算普通年金現值 = 1,500 × (PVIFA 5%,6) = 1,500 × 5.0757 =7,613
7,613是每期期末開始投入的期況，因為題目的投入是期初開始，所以計算上要調整，多乘以一次利率，
期初年金現值 = 7,613 × 1.05 = 7,994元
年金終值計算例子：
假設你在年初存了1,500元，總共存6年、年利率為5%，每年計息1次，那麼在第6年年底時終值是多少？
先計算普通年金終值 = 1,500 × (FVIFA 5%,6) = 10,202
同樣的，10202元是假設期末投入的情況，但因為題目是期初投入而非期末投入，所以要多乘一次利率。
期初年金終值 = 10,202 × 1.05% = 10,712元
年金如何計算？
年金PMT = PV ÷ (PVIFA ,r,n)
年金PMT = FV ÷ (FVIFA r,n)
- (PVIFA ,r,n) 年金現值因子= （1 – [1÷(1+r)^n] ）÷ r
- (FVIFA r,n)年金終值因子 = （ [(1+r)^n] -1 ）÷ r
- PMT = 固定現金流 (每一期多少錢)
- r = 利率
- n =期數
